Análisis

 

Representa una función  y = f(x) de la cual sabemos que:

¨      Es de tipo polinómico de tercer grado.

¨      Corta al eje X en los puntos de abscisas:  -2, 1 y 3.

¨      Corta el eje Y en el punto  (0, 3).

Obtén su ecuación

Calcula los siguientes límites:

 

Estudia la continuidad de la función    en  x = 0.

¿Qué tipo de discontinuidad tiene?

Una población de insectos crece con arreglo a la ley  y = 1 + 2·ex , donde  y  es el número de miles de insectos y  x  es el tiempo en meses desde el momento presente. Haz una gráfica de la función de crecimiento. ¿En cuánto tiempo se duplicará la población inicial (x = 0)? ¿En cuánto tiempo se duplicará la población existente después del primer mes? Utiliza la calculadora para las operaciones. Expresa la función D(x) que calcula el tiempo de duplicación de la población existente en el instante x.

La gráfica de una función  y = f(x) es:

A partir de ella representa las funciones:

 

a) y = - f(x)                 b) y = |f(x)|

c) y = 2 + f(x - 1)                   d) y = 2 f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La gráfica de la derivada  f'(x) de una función continua es la que se indica en la Fig.1.

 

Se pide, razonando las respuestas:

a)  Escribir la ecuación de f'(x)

b)  Dibujar la gráfica de  f(x) si  f(0) = 1

c)  Dibujar la gráfica de  f''(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

Dada la función , se pide:

a)      Dominio, cortes con los ejes e intervalos de crecimiento y decrecimiento. (1 pto)

b) Área del recinto limitado por la función, el eje OX y las rectas x=0 y x=3. (1pto)

 

Calcula las siguientes integrales:

a)                   b)

c)                             d)           e)

La curva , los ejes OX y OY, y la recta x=4, limitan una superficie S. Calcular el volumen de la figura generada por S al girar sobre el eje OX.


Sabiendo que esta gráfica corresponde a una función polinómica de grado dos y que el área sombreada mide 4/3 unidades cuadradas, calcular la expresión algebraica de la función.

 

Enuncia el Teorema Fundamental del Cálculo Integral.

Sea . Halla los extremos relativos de dicha función.

Sea . Halla a y b de modo que la gráfica de la función  tenga para  una inflexión cuya recta tangente en ese punto forma un ángulo de 45º con el eje OX.

(Ayuda:

Halla el valor de los parámetros a y b para que la función  sea continua y la recta tangente  en el punto  sea paralela a la recta 2y=4x+2

 

 

El saldo (positivo o negativo) que ha tenido durante los últimos 9 meses una de las cuentas bancarias que posee cierto individuo viene dado por la expresión (el tiempo x; elo saldo f(x) en miles de pesetas):

 

a)      Encuentra el intervalo o intervalos de tiempo en que el saldo creció y aquél o aquellos en que decreció.

b)      ¿En que momento se obtuvieron los saldos más altos y más bajos?. ¿Cuáles fueron estos?

c)      ¿Tiene la función algún punto de inflexión?. Sólo con los datos anteriores esboza la gráfica de la función.

 

 

Calcula el valor de las siguientes integrales

 

a)                                    d)

b)                                e)

c)                                       f)     

 

Sea la función , ¿para qué valores de a y b es f continua? ¿y derivable?

Sea . Calcula el valor de a para que las tangentes a la curva en los puntos de abscisa de valor absoluto uno pasen por el origen de coordenadas. Halla el área del recinto limitado por la curva y las dos tangentes.

Calcula las siguientes integrales:

a)                   b)

            c)                                   d)

La curva , los ejes OX y OY, y la recta x=4, limitan una superficie S. Calcular el volumen de la figura generada por S al girar sobre el eje OX.

Enuncia el Teorema Fundamental del Cálculo Integral. Sea . Halla los extremos relativos de dicha función.

Calcula los siguientes límites:

            (a)                 (b)                  (c)

Calcula la ecuación de la tangente y de la normal a la curva  en el punto de abscisa 0.

Estudia la continuidad y derivabilidad de la siguiente función:

           

 

Calcula los valores de b y c para que la siguiente función sea continua y derivable:

           

Dada la función , estudia:

            (a) Dominio y asíntotas

            (b) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos

            (c) Concavidad y convexidad

            (d) Representa gráficamente la función

Dada la función , calcula su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos

En un jardín con forma de semicírculo de radio 10 m. se va a instalar un parterre rectangular, uno de cuyos lados está sobre el diámetro y el opuesto a él tiene sus extremos en la parte curva. Calcula las dimensiones para que su área sea máxima

Dada la función:

            , a, b números reales, distintos de 0.

(a) Calcula los valores de a y b para que la función tenga un extremo en el punto (0,-1/2)

            (b) Para esos valores de a y b, determina si ese extremo es máximo o mínimo

            (c) ¿Qué sucede si los valores de a y b son nulos?

Dada la función   determina:

            (a) Dominio y asíntotas

            (b) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos

            (c) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión

            (d) Representa gráficamente la función

Dada la función , calcula su dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos

Una huerta tiene actualmente 25 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se calcula que por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos. Calcula:

(a) La producción actual de la huerta.

(b) La producción que se obtendría de cada árbol si se plantan x árboles más

(c) La producción que se obtendría en total de la huerta si se plantan x árboles más

(d) ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para que la producción sea máxima? Interpreta el resultado

Dada la función:

            (a) Calcula los valores de a y b para que f sea continua y derivable

            (b) Para esos valores de a y b, halla los máximos y los mínimos de f (si los tiene)

Halla:

            (a)                       (b)                      (c)

            (d)                      (e)             (f)

Utiliza el teorema fundamental del cálculo para hallar la derivada de la función:

 y calcula los máximos y los mínimos de F

Calcula el área del recinto limitado por el eje de abscisas y las parábolas  e

Halla el área limitada por la curva  y sus tangentes en los puntos en que la curva corta al eje X.

Un triángulo isósceles tiene el lado desigual de 12 cm y la altura relativa a este lado, de 5 cm. Encuentra un punto sobre esta altura tal que la suma de distancias a los vértices sea mínima.

Calcula el dominio, recorrido, signos, monotonía, extremos, curvatura, puntos de inflexión, asíntotas y simetrías de la siguiente función:                  

 

 

            Realiza una representación gráfica aproximada de la misma.

Expresa la siguiente función como una función a trozos:

 

 

Realiza una representación gráfica aproximada de la misma:

            Calcula su dominio y recorrido.

            Completa la siguiente tabla de valores de la función:

x

-2

4/3

 

 

y

 

 

1

3

 
 
 

 

 

 

 

 


Dada la función          se pide:

a)   Dominio, recorrido y zona de signos.

            b)   Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos relativos.

            c)   Asíntotas y puntos de corte de la función con las mismas.

d)     Representa la gráfica de la función.

 

Dada la función    

a)      Calcula el dominio y las simetrías de f(x). Expresa f(x) como una función a trozos

b)      Calcula la expresión de la función f’(x), su monotonía y sus extremos relativos.

c)       Calcula la expresión de la función f’’(x), su curvatura y sus puntos de inflexión.

            d)   Calcula las tendencias y asíntotas.

d)      Representa la gráfica de la función.

 

Realiza los siguientes cálculos:

            a)   Calcula las siguientes derivadas:            

            b)   Calcula los siguientes límites:

Calcula:

            a)   Calcula la continuidad y derivabilidad de la función:    

            b)   Calcula la ecuación de la recta tangente a la función      en el punto de abscisa  x = 0.

Calcula las dimensiones del rectángulo de mayor perímetro cuya diagonal mida    cm.

Dada la función      con  a > 0, se pide:

a)     Dominio y zona de signos

b)     Monotonía y Extremos

c)     Curvatura y puntos de inflexión                                                          

d)     Asíntotas verticales, horizontales y oblícuas

e)       Representación gráfica y Recorrido

f)     Calcula el área comprendida entre la gráfica de la función   , la gráfica de la función f(x) y el eje Y.                                                            

 

Resuelve la siguiente integral indefinida                                

 

 

 

a)   De entre todos los rectángulos de perímetro 22 cm. calcula cuál es el de mayor área.
 
 


b)   Calcula la función continua  f(x), sabiendo que

la gráfica de la función  f ’(x) es la representada a la

derecha, y que  

       Calcula también  f ’’(x)

 

 

 

Dada la función      calcula:

a)   Dominio. Intervalos del dominio donde la función es positiva, y negativa. Puntos de corte con los ejes.    

b)   Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. Máximos y mínimos.    

c)   Curvatura de la función. Puntos de inflexión.    

d)   Asíntotas.    

e)   Representación gráfica de la función.   

Dada las funciones        calcula:

a)   El valor de k para que la función f(x) sea continua.    

b)   La derivabilidad de f(x) según los valores de k.    

c)   Para el valor de k obtenido en el apartado a), el área que queda encerrado por las funciones f(x) y g(x)    

Dado el siguiente sistema de ecuaciones:    

a)   Realiza un estudio de la compatibilidad del mismo según los valores de k.    

b)   Resuélvelo en el caso de que sea compatible indeterminado.    

 

Hallar los siguientes límites:

a)                 b)

 


Deriva las siguientes funciones, simplificando el resultado cuando sea posible:

a)                 b)               c)

 


Sea , calcula: a) Dominio, b)      c) ¿Es continua f(x) en x=0?. De ser discontinua indica el tipo de discontinuidad.

 


Sea , calcula: a) Dominio, b) Derivada, c) ,

 


Sea

a)      Define f(x) por intervalos o a “trozos”

b)      Dominio

c)      Estudia su continuidad (indicando los tipos de discontinuidad)

d)     ,

e)      Gráfica de f(x)

 


Sea la función:

a)      Calcula a y b para que f(x) sea continua en todo R

b)      Estudia si la función resultante es derivable en R

 


Sea . Calcula a, b y c sabiendo que f(x) tiene en el punto (1,1) una tangente horizontal, pero no es un extremo relativo. Razona la respuesta.

 


Dada la función , contesta razonadamente a las siguientes cuestiones:

a)      Dominio

b)      Ramas infinitas

c)      Intervalos de crecimiento (decrecimiento). Máximos y mínimos relativos

d)     Intervalos de concavidad (convexidad). Puntos de inflexión.

e)      Gráfica

Sea la función , contesta razonadamente a las siguientes cuestiones:

a)      Dominio. Puntos de corte con los ejes.

b)      Asíntotas. Posición de la curva respecto a ellas

c)      Gráfica

 

 

 

 

 

 

Asociar cada gráfica con su fórmula, explicando las razones por las que haces la asociación.

Indica en cada caso el dominio y la continuidad de la función.

a)  b)  c)  

d)  e)  f)

 

1
 

2
 

 

 

 

3
 

4
 

5
 

6
 

 

 

 

 

 

 

Hallar la derivada de la siguiente función, simplificando el resultado todo lo posible:

 


Halla la ecuación de la recta tangente a la función , en el punto x=0

 

 


Dada la función:  Hallar:

Dominio

 

 

 


Dada la función:

Definirla por intervalos

Hallar su dominio

Estudiar la continuidad diciendo el tipo de discontinuidad en los puntos en que no sea continua

Estudiar la derivabilidad

 

 


Dada la función: , Hallar:

Dominio y puntos de corte con los ejes

Asíntotas y ramas infinitas

Crecimiento y decrecimiento, y máximos y mínimos

Representarla gráficamente

 

 

 

Halla los siguientes límites:

 

a)

b)

 

 

 

 


Calcula la altura y el radio que debe tener un depósito cilíndrico, cuya área total es de 54 cm2, para que su volumen sea máximo.

 

 

 

 


Calcula las siguientes integrales indefinidas:

 

a)  (sustitución)

b)  (por partes)

c) (racional)

 

 

 


Halla f(x) sabiendo que  y que

 

 

 


Dadas las funciones  y

Dibuja las dos gráficas en un mismo plano y halla sus puntos de intersección

Determina el área del recinto limitado entre ambas gráficas